necessidade de criar novos números: os números fraccionários

Vamos criar os números fraccionários passeando,



até ao quadro Tuileries.

divisão em N₀

Começamos com esta ficha, ao som do primeiro passeio dos Quadros de uma Exposição de Modest_Mussorgsky:


Continuamos com esta ficha, na companhia do primeiro quadro:


E terminamos a divisão de naturais passeando,


até ao segundo quadro Il vecchio castello.

Aulas 2 e 3: representação de números no sistema de numeração decimal

Outra pérola de Caraça

Na calculadora o símbolo / significa divisão. E 2 a dividir por 5 dá 0.4.

Por outro lado, vulgarmente diz-se que 2/5 é dividir um bolo em cinco fatias iguais e comer duas.

Mas se pedirmos a um aluno para representar 2/5 no sistema de numeração de base dez, muito provavelmente escreverá 2,5.

Importava-nos construir a ponte entre a noção de divisão, conceito básico do pensamento, e a forma automática de representar uma fracção. Descobrimo-la nos Conceitos Fundamentais da Matemática do Professor Bento de Jesus Caraça. Aqui ficam as páginas inspiradoras:

Matemática não é mecanizar resoluções. Matemática é pensar.

Em 4 de Julho de 2008, numa entrevista ao telejornal das 20:00 da RTP1, Maria de Lurdes Rodrigues defende a obtenção de resultados em Matemática deste modo: "Treinando os alunos para o exame. É muito importante treinar os alunos para o exame." (20:16)




O professorado ficou estarrecido. Os vivos e os mortos. Aqui fica o testemunho do saudoso Professor Sebastião e Silva:

Uma pérola de Caraça

As primeiras quatro páginas dos Conceitos Fundamentais da Matemática do Professor Bento de Jesus Caraça, um livro que releio cada vez com maior prazer:

Freeman Dyson

Estavam alguns cientistas a almoçar, sentados à volta duma mesa, quando um deles se lembrou de pôr este problema:
"Existirá um inteiro tal que, se removermos o algarismo das unidades e o colocarmos à esquerda de todos os outros (e.g. transformando 112 em 211), podemos duplicar o seu valor?"
Um dos presentes, o físico-matemático Freeman Dyson, professor do Institute for Advanced Study, em Princeton, resolveu-o mentalmente em 2 segundos.

Bom ... vamos lá pegar num lápis e numa folha de papel:


Existe devido à tabuada dos 9.
A expressão decimal do mais pequeno tem 1 como algarismo das unidades. Logo temos 2 nas dezenas (19x2=38), logo 4 nas centenas (19x4=76), ... uf ... uf ... uf ... uf ... uf ... uf ... , ao todo 18 dígitos:

052 631 578 947 368 421

Obviamente há nove inteiros. E o inteiro seguinte é a sua permutação:

105 263 157 894 736 842

Biografia de Bento de Jesus Caraça

Aqui fica a biografia de um Professor:





Os processos disciplinares contra professores de mérito são apanágio dos totalitarismos.

Fia-te no atrito, e verás o trambolhão que levas

Sem quadro interactivo. Lamento. Fim da exposição.

caracóis e cocos

Este gráfico cartesiano foi feito pelo Francisco no ano lectivo 1996/97:




E para terminar, alguém consegue descobrir os cocos neste outro gráfico?

representação de pares ordenados de números reais num plano

E agora é fácil representar pares ordenados de números no plano, ao som da VI cena da infância de Robert Schumann:

representação de números reais num eixo

Vamos representar números num eixo ao som da V cena da infância:

posição relativa de duas rectas no plano

estudada ao som da cena IV.

A lei da inércia (em Mecânica, entenda-se...)

Como é proibido usar o quadro interactivo, porque não não faz parte do Projecto Educativo, nem do Plano Anual de Actividades da escola, a exposição à comunidade educativa fica neste blogue.

segmento de recta

A última linha ao som da terceira cena da infância:

semi-recta

Mais uma linha. E mais uma cena da infância:

recta

Esta vai ser a primeira linha no plano. Bem acompanhada por uma melodia para estimular o desenvolvimento das capacidades dos formandos:

Aula 1: gráficos cartesianos

Vamos explorar este gráfico,

Temperatura média mensal máxima = .....

Temperatura média mensal mínima = .....

Amplitude térmica anual = ................ = .....

para obtermos as noções de segmento de recta, paralelismo, perpendicularidade, obliquidade, correspondência entre números e pontos da recta, ou entre pares ordenados de números e pontos do plano.

Como resolver problemas matemáticos

Foi recentemente publicado o livro "Como resolver problemas matemáticos — Uma perspectiva pessoal", de Terence Tao, Sociedade Portuguesa de Matemática e Texto Editores, 2008.

Terence Tao é um matemático australiano que, no primeiro dia do 25º Congresso Internacional de Matemática, realizado em Madrid, em Agosto de 2006, recebeu do rei de Espanha a medalha Fields.
Certamente já ouviste falar nos prémios Nobel. Ora a medalha Fields é algo como o prémio Nobel da Matemática, mas muito mais difícil de obter porque é atribuída nos Congressos Internacionais de Matemática, e estes ocorrem apenas de quatro em quatro anos.
Os premiados com a medalha Fields são escolhidos por comissões nomeadas pela União Matemática Internacional. Os membros dessas comissões são pessoas que fizeram trabalhos matemáticos excepcionais.

A citação oficial que acompanhou a atribuição da medalha de Tao nomeia alguns dos seus trabalhos. O mais famoso é sobre números primos.
A sucessão dos números primos contém progressões aritméticas — isto é, sequências em que a diferença entre cada número e o seguinte é constante — de vários comprimentos.
Por exemplo, 3, 5, 7 é uma progressão aritmética de comprimento três. Outra é 5, 11, 17, 23, 29, de comprimento cinco. É muito difícil encontrar progressões aritméticas nos primos, e a maior conhecida actualmente tem comprimento 24. Tao provou, em colaboração com Ben Green, que na sucessão dos números primos existem progressões aritméticas de qualquer comprimento.

Tao fez também uma investigação, com Emmanuel Candès, sobre técnicas de compressão de imagens, ou seja, sobre a substituição inteligente de uma enorme colecção de dados por um conjunto mais pequeno contendo o essencial da informação. Esta técnica, chamada compressed sensing, poderá ser aplicada na concepção de máquinas fotográficas digitais tecnologicamente mais avançadas.

Tanto Tao como os seus dois irmãos foram crianças e jovens cuidadosamente acompanhados pelos seus pais (uma professora de Matemática e um pediatra emigrados de Hong Kong para a Austrália) durante o seu percurso escolar, o que lhes permitiu um progresso acelerado nos estudos. Aliás ele gosta de insistir que o essencial em Matemática é o trabalho.
Foi um participante entusiasta das Olimpíadas Internacionais de Matemática: em 1986, ainda antes de completar 11 anos, ganhou uma medalha de bronze, em 1987 uma de prata e, finalmente, na sua terceira participação, em 1988, ganhou uma medalha de ouro com 13 anos de idade. Daí já lhe terem chamado o “Mozart” da Matemática.

Neste livro, escrito aos 15 anos, reuniu vários problemas de Matemática. Antes dos quatro capítulos principais — sobre teoria dos números, álgebra e análise, geometria euclidiana, e geometria analítica — há um capítulo sobre “Estratégias de resolução de problemas”. Aí analisa, através de exemplos, vários princípios gerais para resolver problemas de Matemática: compreender o problema, compreender o objectivo, escolher símbolos adequados, escrever o que já se sabe, ir provando mais alguma coisa, … Os problemas exigem apenas conhecimentos matemáticos elementares, tal como sucede nas Olimpíadas de Matemática, mas requerem reflexão e criatividade na sua resolução.

Numa entrevista de 2006, Tao explicou a sua estratégia:
"Quando eu era criança, tinha uma ideia romântica da Matemática, a ideia de que os problemas difíceis eram resolvidos em momentos Eureka de inspiração. […] Hoje, comigo, é sempre assim: Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho. Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final o que normalmente acontece é: Olha, resolvi o problema."

Qualquer jovem, que goste de pensar pela sua própria cabeça, achará este livro muito interessante e útil.

(Adaptação e simplificação do prefácio do livro mencionado, de modo a torná-lo acessível aos nossos alunos do 9º ano)